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考研数学指导中心定理路简明

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发表于 2009-9-11 16:19 | |阅读模式

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矩阵与对角阵相似问题,是矩阵谱理论中,“矩阵法式”讨论的特殊情形。     如果存在满秩方阵 P ,使得   方阵 A = (P的逆)BP ,就称矩阵 A B 相似。 + L- Z" K6 j+ D3 [
   (画外音:没办法,新浪论坛的系统就这么低水平,连“上标”都无法显示。)
$ T+ v5 f& D% Z. j    要是你研究式地学习,你可以主动地“折腾”一下定义。就算是练练手。
( y5 Z) H. \3 ~; D0 q1 p+ B   (1)对相似的定义等式,方阵 A = (P的逆)BP ,两端取转置。
2 z. f8 c9 n( W/ [5 t5 Y" t$ v           Aˊ=(P的逆)BPˊ   Aˊ= PˊBˊ(P的逆) ˊ 5 H; W: q0 j; Y9 S
如果有   (P的逆) ˊ= Pˊ的逆 (可以证明!)   Aˊ= PˊBˊ(Pˊ的逆) # a0 g7 k& k' b/ i
这表明,如果AB相似,关联矩阵为P,则AˊBˊ也相似。关联矩阵为 (Pˊ的逆)
" I; E3 l+ l+ |   (2)设AB都可逆,对定义等式,方阵 A = (P的逆)BP,两端取逆。
) e4 P3 Q/ G/ W% f1 W/ ^       (A的逆)= (P的逆)BP)的逆,即(A的逆)= (P的逆)B的逆)P
, |1 n- q" W# W1 |5 Y# v- `! Z3 P2 h这表明,如果AB相似,则(A的逆)与(B的逆)也相似。关联矩阵P不变。 9 m8 W- M! Z$ E* i# N* W
      试证明矩阵AB相似的充分必要条件是,A*B*相似
6 B% K1 p, k, r. e" v    分析  这个考试题相当于(3),对定义等式两端取“伴”(即取*),即
. @# E; V5 K" ~0 m                A* = (P的逆)BP* = P*B*(P的逆)*
2 @8 q: v( [2 r1 U7 S6 }0 Q8 l9 S& Z    如果有  (P的逆)* = P*的逆,则A* =  P*B*(P*的逆) ,证明就很简单了。
; m" h( c) K" }3 e0 O' j1 \0 I    事实的确如此。 * D1 m" a- D/ s: q+ Q' n. i: B
    因为  (P的逆) (P的逆)*= | (P的逆)|E ,故  (P的逆)* = P /| P|
: B2 z; @1 @# t) ]    另一方面,P* = | P| (P的逆),等式两端取逆,就有 7 w( s# k2 G3 Z# k+ B
          ( P*的逆)= P /| P|= (P的逆)* - Y+ e3 G0 p1 \
    方阵的相似关系有如下几条性质:   K0 W6 }# m9 ~. x0 p
   (1)相似关系有传递性。即若矩阵AB相似,BC相似,则AC相似。
# t* {2 H) d5 m* N! M4 n4 ~5 P# P   (2)相似的矩阵一定等价。
; z+ z; G+ b& ^- y4 }. J2 Z   (潜台词:由乘积的秩关系知,相似矩阵的秩相等。) # I6 b% C( o  p% U8 u# F5 D* n
   (3)相似矩阵有相同的特征值。
0 T2 b6 o( [$ p0 i( |- J5 q$ P% B   (潜台词:相似矩阵有相同的特征多项式。相似矩阵不一定有相同的特征向量。) , d: A$ p! @# p& G, ^; t4 ~
   (4)矩阵AB相似,φ(t)是个多项式,则多项式矩阵 φ(A)与φ(B)相似。 ' R/ L6 V: ]) e) k- _/ P$ I
    实际上,若有满秩矩阵P,使得A = (P的逆)BP,则 8 V4 o4 u% D1 r5 p: ^  {
       Ak次方 = A·A·------ ·A
. F/ I( j7 u$ W/ ~9 L% i                = (P的逆)BP·(P的逆)BP·------ ·(P的逆)BP 4 s' f4 J' v: R. h
                =  (P的逆)Bk次方)P             (乘法满足结合律) ! M: L- C3 l$ f% Y
    A-λE 就是个一次多项式矩阵,相应着一次多项式 t-λ;因而若矩阵AB相似,则矩阵 A-λE 和矩阵 B-λE 相似。
2 Q8 X7 p3 m2 d    中心定理  n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是,A n 个线性无关的特征向量。
7 g& J0 W/ v: H5 i* ~8 B    中心定理的证明,只不过是一个矩阵乘法表达方式变化,加上矩阵相等的定义。
. b; _3 [1 g7 E- M, p8 e+ s9 F    设有满秩矩阵P,使得,(P的逆)AP = Λ(对角阵),即 AP = PΛ,且设对角阵Λ的主对角线上元素为 λ1,λ2,------,λn 9 ^. N8 B. B$ i6 A$ }- @
P按列分块,   Aξ1ξ2,------ξn = ξ1ξ2,------ξnΛ
% K& b$ {% x% `  a进而有         Aξ1Aξ2------Aξn=λ1ξ1,λ2ξ2,------,λnξn % B  l0 i' |3 k! l7 M8 [
(左边(1×1)(1×n),右边(1×n)(n×n),乘积都是(1×n)阶列分块阵。) . K, O* f1 R/ r6 m
    最后用矩阵相等的定义及运算的可逆性就能完成证明。
2 {6 i9 z1 g9 a. w0 i5 M+ h    中心定理的证明过程表明,若 n 阶方阵 A 能与对角阵相似。这个对角阵Λ的主对角线上元素就是它的n特征值。相应的n个线性无关的特征向量(列)排成关联矩阵P ( a; }# |8 v+ D/ ^% v
    一个矩阵A能与对角阵相似,有什么好?随便说几条。
7 T( }6 D* n7 U   (1)矩阵A与对角阵Λ相似,且秩 r (A)= r ,则显然 λ = 0是A的n-r重特征值。 6 q3 e" O* c$ H5 C* f
   (潜台词:相似矩阵有相同的特征值。特征值看对角阵。 ; t$ N  ]2 L, Z
   2)矩阵A与对角阵Λ相似,且秩 r (A)= r ≠ 0 ,则A的k次方与Λ的k次方相似。所以,A的k次方矩阵的秩也为 r ,换句话说,A一定不是“幂零阵”。
( x; _  [. h+ j' `4 C2 u; Q   (3A的k次方难解。如果矩阵A能与对角阵相似,我们可以求出它的n特征值,及相应的n个线性无关的特征向量,再排出关联矩阵P和对角阵Λ,由定义式
8 v+ g6 x- c$ t; `" A5 s               (P的逆)Ak次方)P = Λk次方
5 W1 ]3 d6 C' O: i, S; e就能反解出(Ak次方)。 # f5 Z: r8 S2 T7 B: i' j
    这是一类出现频率较高的大分值考研试题。
; A' y: e$ I+ Y6 Z* ]   (4)矩阵A能与对角阵相似,则An个线性无关的特征向量。把它们选为n维向量空间的(坐标)基,会给应用带来很大的方便。
1 Z8 U8 J) e! Q. p, g          --------------------------------------------
" T7 y2 V8 p3 a+ i& X9 S: L    由特征值与特征向量知识直接得到判定定理(充分条件): - L& A* O' @4 m: `; C' G
   (1)若 n 阶方阵 A n 个单特征值,则 A 能与对角阵相似。
$ S0 [8 `! G; t5 @" s   (2)若 n 阶方阵 A 的每个重特征值都不亏损,即每个 k 重特征值拥有的特征向量集的秩一定为 k,则 A 能与对角阵相似。
) H6 h5 v$ r/ c2 N- N+ z2 g3 i& P   (潜台词:重特征值亏损的严重后果是,矩阵不能与对角阵相似。) 2 ?% _% y$ N6 x; }. M
    例  二阶方阵A满足 | A|< 0 ,A一定能和对角阵相似。
& N/ `2 R; y4 R" d7 l% b/ T    分析  由特征多项式 φ(λ)=|A-λE | 知 φ(0) = |A|,即(二次的)特征多项式常数项为|A|,其两根之积为负,两根反号,当然都是单特征。
8 T6 S5 b' y, ]9 a0 w  z; A! E    借助于A有重特征的情形,考试中心编制了又一类大分值考研试题——
$ B, n( ^$ L1 k, Y$ h    “已知含有参数的矩阵A能与对角阵相似,试确定其中的参数值。”
, @. e0 v" w+ Q& h8 N0 l    数学二的考题也达到了这个难度。要拿分吗,先背熟相应的逻辑推理。
8 b' b3 S2 O6 d& \6 r7 [2 @' ~* q    由于解一元高次方程的困难,研考题通常是给一个含参数的3阶矩阵A A 有一个单特征和一个二重特征值 λ
  r( Q" p0 ^& g+ h; K# `* y# V: ^. ~     A 能与对角阵相似 A 3个线性无关的特征向量
# b+ n! [: i1 g+ l9 w     A 的属于二重特征值 λ 的特征向量集的秩一定为 2   6 f6 L0 N! s, O. r5 Y
     齐次线性方程组A-λE)x = 0 的解集秩为 2 ' e3 c; {: h. v* d
     方程组系数矩阵 A-λE 的秩只能为   3-2 = 1   2 S3 S8 @7 G0 [7 Q
     A-λE 的二阶子式全为 0
" `& f' z; Y7 ?9 t    —→挑选 A 一个含有参数的二阶子式,令其为0得方程。
7 D1 b5 {( Y/ t- b    啊!大学数学《线性代数》的理论精髓就集中体现在这儿了。理解一遍,就是一次实实在在的总复习。坡度较高,但是路径简明单一。 9 j+ d9 D6 [) x3 F; Q2 x
    零矩阵是最特殊的对角阵。它有 n 重的 0 征值。主对角线上全是数 0 的上三角阵也具有 n 重的 0 征。但是这些上三角阵的秩大于或等于1,因而它们不能和对角阵相似。
! g' j9 Z4 f* l1 C    把关联矩阵P取成单位矩阵E,就能说明每个对角阵与自己相似。 - S0 f6 E+ U! ^1 f
    把 n 个实数放到主对角线得到对角阵。无论按照什么顺序放,所产生的对角阵都彼此相似。这是因为,我们选定其中一个对角阵以后,其它顺序的对角阵都是由它的特征值排成的。

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