考研数学指导中心定理路简明

岁月如歌

矩阵与对角阵相似问题，是矩阵谱理论中，“矩阵法式”讨论的特殊情形。     如果存在满秩方阵 P ，使得   方阵 A = (P的逆)BP ，就称矩阵 A 与 B 相似。
   （画外音：没办法，新浪论坛的系统就这么低水平，连“上标”都无法显示。）
$ T+ v5 f& D% Z. j    要是你研究式地学习，你可以主动地“折腾”一下定义。就算是练练手。
( y5 Z) H. \3 ~; D0 q1 p+ B   （1）对相似的定义等式，方阵 A = (P的逆)BP ，两端取转置。
2 z. f8 c9 n( W/ [5 t5 Y" t$ v           Aˊ=（(P的逆)BP）ˊ 即  Aˊ= PˊBˊ(P的逆) ˊ
如果有   (P的逆) ˊ= Pˊ的逆 ， （可以证明！）   则Aˊ= PˊBˊ(Pˊ的逆)
这表明，如果A与B相似，关联矩阵为P，则Aˊ与Bˊ也相似。关联矩阵为 (Pˊ的逆)
" I; E3 l+ l+ |   （2）设A与B都可逆，对定义等式，方阵 A = (P的逆)BP，两端取逆。
) e4 P3 Q/ G/ W% f1 W/ ^       （A的逆）= （(P的逆)BP）的逆，即（A的逆）= (P的逆)（B的逆）P
, |1 n- q" W# W1 |5 Y# v- `! Z3 P2 h这表明，如果A与B相似，则（A的逆）与（B的逆）也相似。关联矩阵P不变。
    例  试证明矩阵A与B相似的充分必要条件是，A*与B*相似
6 B% K1 p, k, r. e" v    分析  这个考试题相当于（3），对定义等式两端取“伴”（即取*），即
. @# E; V5 K" ~0 m                A* = （(P的逆)BP）* = P*B*(P的逆)*
2 @8 q: v( [2 r1 U7 S6 }0 Q8 l9 S& Z    如果有  (P的逆)* = P*的逆，则A* =  P*B*(P*的逆) ，证明就很简单了。
; m" h( c) K" }3 e0 O' j1 \0 I    事实的确如此。
    因为  (P的逆) (P的逆)*= | (P的逆)|E ，故  (P的逆)* = P /| P|
: B2 z; @1 @# t) ]    另一方面，P* = | P| (P的逆)，等式两端取逆，就有
          ( P*的逆)= P /| P|= (P的逆)*
    方阵的相似关系有如下几条性质：
   （1）相似关系有传递性。即若矩阵A与B相似，B与C相似，则A与C相似。
# t* {2 H) d5 m* N! M4 n4 ~5 P# P   （2）相似的矩阵一定等价。
; z+ z; G+ b& ^- y4 }. J2 Z   （潜台词：由乘积的秩关系知，相似矩阵的秩相等。）
   （3）相似矩阵有相同的特征值。
0 T2 b6 o( [$ p0 i( |- J5 q$ P% B   （潜台词：相似矩阵有相同的特征多项式。相似矩阵不一定有相同的特征向量。）
   （4）矩阵A与B相似，φ(t)是个多项式，则多项式矩阵 φ(A)与φ(B)相似。
    实际上，若有满秩矩阵P，使得A = (P的逆)BP，则
       A的k次方 = A·A·------ ·A
. F/ I( j7 u$ W/ ~9 L% i                = (P的逆)BP·(P的逆)BP·------ ·(P的逆)BP
                =  (P的逆)（B的k次方）P             （乘法满足结合律）
    A－λE 就是个一次多项式矩阵，相应着一次多项式 t－λ；因而若矩阵A与B相似，则矩阵 A－λE 和矩阵 B－λE 相似。
2 Q8 X7 p3 m2 d    中心定理  n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是，A 有 n 个线性无关的特征向量。
7 g& J0 W/ v: H5 i* ~8 B    中心定理的证明，只不过是一个矩阵乘法表达方式变化，加上矩阵相等的定义。
. b; _3 [1 g7 E- M, p8 e+ s9 F    设有满秩矩阵P，使得，(P的逆)AP = Λ（对角阵），即 AP = PΛ，且设对角阵Λ的主对角线上元素为 λ1，λ2，------，λn
把P按列分块，   A（ξ1，ξ2，------，ξn） = （ξ1，ξ2，------，ξn）Λ
% K& b$ {% x% `  a进而有         （Aξ1，Aξ2，------，Aξn）=（λ1ξ1，λ2ξ2，------，λnξn）
（左边（1×1）（1×n），右边（1×n）（n×n），乘积都是（1×n）阶列分块阵。）
    最后用矩阵相等的定义及运算的可逆性就能完成证明。
2 {6 i9 z1 g9 a. w0 i5 M+ h    中心定理的证明过程表明，若 n 阶方阵 A 能与对角阵相似。这个对角阵Λ的主对角线上元素就是它的n个特征值。相应的n个线性无关的特征向量（列）排成关联矩阵P
    一个矩阵A能与对角阵相似，有什么好？随便说几条。
7 T( }6 D* n7 U   （1）矩阵A与对角阵Λ相似，且秩 r (A)= r ，则显然 λ = 0是A的n－r重特征值。
   （潜台词：相似矩阵有相同的特征值。特征值看对角阵。
   （2）矩阵A与对角阵Λ相似，且秩 r (A)= r ≠ 0 ，则A的k次方与Λ的k次方相似。所以，A的k次方矩阵的秩也为 r ，换句话说，A一定不是“幂零阵”。
( x; _  [. h+ j' `4 C2 u; Q   （3）A的k次方难解。如果矩阵A能与对角阵相似，我们可以求出它的n个特征值，及相应的n个线性无关的特征向量，再排出关联矩阵P和对角阵Λ，由定义式
8 v+ g6 x- c$ t; `" A5 s               (P的逆)（A的k次方）P = Λ的k次方
5 W1 ]3 d6 C' O: i, S; e就能反解出（A的k次方）。
    这是一类出现频率较高的大分值考研试题。
; A' y: e$ I+ Y6 Z* ]   （4）矩阵A能与对角阵相似，则A有n个线性无关的特征向量。把它们选为n维向量空间的（坐标）基，会给应用带来很大的方便。
1 Z8 U8 J) e! Q. p, g          --------------------------------------------
" T7 y2 V8 p3 a+ i& X9 S: L    由特征值与特征向量知识直接得到判定定理（充分条件）：
   （1）若 n 阶方阵 A 有 n 个单特征值，则 A 能与对角阵相似。
$ S0 [8 `! G; t5 @" s   （2）若 n 阶方阵 A 的每个重特征值都不亏损，即每个 k 重特征值拥有的特征向量集的秩一定为 k，则 A 能与对角阵相似。
) H6 h5 v$ r/ c2 N- N+ z2 g3 i& P   （潜台词：重特征值亏损的严重后果是，矩阵不能与对角阵相似。）
    例  二阶方阵A满足 | A|＜ 0 ，A一定能和对角阵相似。
& N/ `2 R; y4 R" d7 l% b/ T    分析  由特征多项式 φ(λ)=|A－λE | 知 φ(0) = |A|，即（二次的）特征多项式常数项为|A|，其两根之积为负，两根反号，当然都是单特征。
8 T6 S5 b' y, ]9 a0 w  z; A! E    借助于A有重特征的情形，考试中心编制了又一类大分值考研试题——
$ B, n( ^$ L1 k, Y$ h    “已知含有参数的矩阵A能与对角阵相似，试确定其中的参数值。”
, @. e0 v" w+ Q& h8 N0 l    数学二的考题也达到了这个难度。要拿分吗，先背熟相应的逻辑推理。
8 b' b3 S2 O6 d& \6 r7 [2 @' ~* q    由于解一元高次方程的困难，研考题通常是给一个含参数的3阶矩阵A ，A 有一个单特征和一个二重特征值 λ
  r( Q" p0 ^& g+ h; K# `* y# V: ^. ~     A 能与对角阵相似 —→ A 有 3个线性无关的特征向量
# b+ n! [: i1 g+ l9 w     —→ A 的属于二重特征值 λ 的特征向量集的秩一定为 2  
     —→ 齐次线性方程组（A－λE）x = 0 的解集秩为 2
     —→ 该方程组系数矩阵 A－λE 的秩只能为   3－2 = 1  
     —→ A－λE 的二阶子式全为 0
" `& f' z; Y7 ?9 t    —→挑选 A 的一个含有参数的二阶子式，令其为0得方程。
7 D1 b5 {( Y/ t- b    啊！大学数学《线性代数》的理论精髓就集中体现在这儿了。理解一遍，就是一次实实在在的总复习。坡度较高，但是路径简明单一。
    零矩阵是最特殊的对角阵。它有 n 重的 0 特征值。主对角线上全是数 0 的上三角阵也具有 n 重的 0 特征。但是这些上三角阵的秩大于或等于1，因而它们不能和对角阵相似。
! g' j9 Z4 f* l1 C    把关联矩阵P取成单位矩阵E，就能说明每个对角阵与自己相似。
    把 n 个实数放到主对角线得到对角阵。无论按照什么顺序放，所产生的对角阵都彼此相似。这是因为，我们选定其中一个对角阵以后，其它顺序的对角阵都是由它的特征值排成的。